Question

如图，已知圆，圆．

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；

（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．

①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；

②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer

（1）或

（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；

②动圆过定点和

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，，，

由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即

因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为

                                         ……3分

解得或，所以直线的方程为或．      ……6分

（2）①证明：设动圆圆心，由题可知

则

化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．        ……10分

②动圆过定点

设，则动圆的半径为

动圆的方程为

整理得                                ……14分

，解得或

所以动圆过定点和．               ……16分

考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系.