Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成直二面角,如图二，在二面角中.

(1)求证：BD⊥AC；

(2)求D、C之间的距离；

(3)求DC与面ABD成的角的正弦值。

Answer

(1)根据线面垂直的性质定理来得到线线垂直的证明。关键的一步是利用面ABD面ABC，得到BD面ABC，加以证明。

(2) 2 (3)

【解析】

试题分析： 【解析】
(1)依题意，面ABD面ABC，AB是交线，

而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，

 BD⊥AC；          4分

(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，

 BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，

DC===2；       8分

(3)取AB的中点H，连CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，

CHAB，又面ABC面ABD，

 CH面ABD，

DH是DC在面ABD内的射影，

CDH是DC与面ABD成的角。

而CH=BC=，由(2)DC=2，

sinCDH===即为所求。      12分

考点：空间中点线面的位置关系