Question

数列{}中，a₁=3，，

(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；

(2)用合情推理猜测关于n的表达式(不用证明)；

(3)用合情推理猜测{}是什么类型的数列并证明；

(4)求{}的前n项的和。

Answer

(1)3,10,27,68

(2) an-n=n2n

(3)=22n-1，

【解析】

试题分析：【解析】
(1) a1=3， a2=a1-1-1=10，a3=a2-2-1=27，

a4=a3-3-1=68        2分

(2)由(1)，a1-1=2=12，a2-2=8=222，a3-3=24=323，a4-4=64=424，

猜测an-n=n2n，              4分

(3) 由(2)，an-n=n2n，=2n，因此可推测{}是等比数列   5分证明如下：

 an+1=an-n-1， an+1-(n+1)= an-2(n+1)=2(n+1)(-1)，

=2, 而=20, {}是首项为2，公比为2的等比

数列；               8分

(4)由(3)=22n-1， an="n+" n 2n,            10分

{an}的前n项的和: Sn=+12+222+323+ +n2n。

记P=12+222+323+ +n2n，则2P-P= n2n+1-(2+22+23+ +2n)= (n-1)2n+1+2

 P=(n-1)2n+1+2,  Sn=+(n-1)2n+1+2.           13分

考点：合情推理