Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；

（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer

（1）点F应是线段CE的中点（2）（3）

【解析】

试题分析：解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），

B（2，0，1），，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，

∴，取平面ACD的法向量，

则，∴BF∥平面ACD；    

（2）设平面BCE的法向量为，则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角θ满足，∴；    

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量为，∴所求距离．                      

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥=，

∴FH∥=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，

由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；

（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，

设所求的二面角的大小为θ，则，

易求得BC=BE=，CE=，∴，

而，∴，而，∴；        

（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C﹣BGE，由ED⊥平面ACD，∴平面ABED⊥平面ACD，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，设G点到平面BCE的距离为h，则VC﹣BGE=VG﹣BCE即，由，，，

∴即为点G到平面BCE的距离．

考点：空间几何体线面平行的判定二面角点面距的计算