Question

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E为AB中点，F为正方形BCC₁B₁的中心.

（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．

Answer

(1) (2)

【解析】

试题分析：解法一：（1）取BC中点H，连结FH，EH，设正方体棱长为2．

∵F为BCC1B1中心，E为AB中点．

∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．

∴∠FEH为直线EF与平面ABCD所成角，且FH⊥EH．

∴tan∠FEH===．……6分

（2）取A1C中点O，连接OF，OA，则OF∥AE，且OF=AE．

∴四边形AEFO为平行四边形．∴AO∥EF．

∴∠AOA1为异面直线A1C与EF所成角．

∵A1A=2，AO=A1O=．

∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．……12分

解法二：设正方体棱长为2，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），B1（0，0，2），E（0，1，0），F（1，0，1），

C（2，0，0），A1（0，2，2）．

（1）=（1，－1，1），=（0，0，2），且为平面ABCD的法向量．

∴cos<，>=．

设直线EF与平面ABCD所成角大小为θ．

∴sinθ=，从而tanθ=．……6分

（2）∵=（2，－2，－2）．∴cos<，>=．

∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．……12分

考点：异面直线所成的角，线面角