Question

在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。

（1）求点C到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值;

(3)若M,N分别为直线上动点,求MN的最小值。

Answer

(1) (2)

(3)异面直线的距离即为MN的最小值

【解析】

试题分析：解:（1）连接AO, 因为平面ABC,所以,因为,

得,在中,

在中，则又

设点C到平面的距离为

则由得，从而……4分

(2)如图所示,分别以所在的直线 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0), ，.

设平面的法向量,

又

由,得,

令,得,即。 

设平面的法向量, 又

由,得,令,得,即。 

所以 ，……7分

由图形观察可知，二面角为钝角，

所以二面角的余弦值是. ……9分

(3)方法1.在中,作于点E,因为,得.

因为平面ABC,所以,因为,

得,所以平面,所以,

所以平面.从而

在中,为异面直线的距离，即为MN的最小值。……14分

方法2.设向量,且

令,得,即。

所以异面直线的距离即为MN的最小值。……14分

考点：空间中点线面的位置关系