Question

已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）方程分别为y=和

【解析】

试题分析：(Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4)，

将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求双曲线方程为

(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴  ∴k∈(－)∪(1,).

设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是

|EF|=

=，而原点O到直线l的距离d＝,

∴SΔOEF=

若SΔOEF＝，即解得k=±，满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

考点：双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．