Question

在直角坐标系xOy中,椭圆C₁: ="1" (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂, F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=.

（1）求C₁的方程；

（2）直线l∥OM，与C₁交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.

Answer

(1).(2)直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.

【解析】

试题分析：(1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),设M(x1,y1),M在C2上,因为|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.

解得a=2(a=不合题意,舍去). b2=4-1=3.故椭圆C1的方程为.

(2)因为l∥OM,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k==.设l的方程为y=(x-m).

由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.

因为⊥,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2

=7·-6m·+6m2=(14m2-28)=0.所以m=±.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)＞0.

故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线方程。