Question

已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.

（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

Answer

(1)  (2)采用联立方程组结合韦达定理和中点公式来证明。

(3)

【解析】

试题分析：(1) ; () 由方程组

,消y得方,因为直线交圆于、两点,所以D>0,即,设C(x1 ,y1 )、D(x2 ,y2 , D中点坐标为(x0 ,y0 ),则,由方组,消y得方(k2 -k1 )xp,又因为,所以,故E为CD的中点;

(3) 作点P1、P2的步骤:°求出PQ的中点,2°求出直线OE的斜率,3由知E为CD的中点,根据()可得CD的斜率,4°从而得直线CD的方程:, 5°将直线CD与圆

Γ的方程联立,方程组的解即为点P1 P2的坐标.

使P1、P2存在,必须点在椭圆内,所以,化简得,,又0