Question

已知方程tan²x一tan x+1=0在x[0，n)( nN*)内所有根的和记为a_n

(1)写出a_n的表达式；(不要求严格的证明)

(2)记S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n求S_n；

(3)设b_n =(kn一5) ，若对任何nN* 都有a_nb_n，求实数k的取值范围．

Answer

(1) =(n2一) (2)  (3) k4

【解析】

试题分析：解:( 1)解方程得tanx=或,当n=1时,x=或,此时=,

当n=2时,x=,,+,+,∴=+(+2)

依次类推:=+(+2)+…+[+2(n一1) ],

∴=(n2一)

(2) =(12 +22 +…+n2 ) 一 (1+2+…+n)

=

=

(3)由得(n2—) (kn一5) ,

∴knn2一+5 ∵n∈N*,∴kn+一,

设= n+一,

易证在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增

∵n∈N*,=4,=4∴n=2,min =4,

∴k4

考点：数列的通项公式与前n项和