Question

已知函数，在时取得极值．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若时,恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）     2分

依题意得，所以，从而       4分

（Ⅱ）令，得或（舍去），

当时，当

由讨论知在的极小值为；最大值为或，因为，所以最大值为，所以    ……8分

（Ⅲ）设,即，．

又，令，得；令，得．

所以函数的增区间，减区间．

要使方程有两个相异实根，则有

，解得    12分

考点：函数导数求函数单调性最值极值