Question

已知函数f(x)＝x³－ax²＋(a²－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间、极值点，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值．

Answer

(1) a＝1，b＝ (2) f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)，x＝0和x＝2是f(x)的极值点，在区间[－2,4]上的最大值为8

【解析】

试题分析：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，         1分    

∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，      2分

∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a2－1＋b，    3分

又f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，        

解得a＝1，b＝.                        4分

(2)∵f(x)＝x3－x2＋，∴f′(x)＝x2－2x，      5分

、、的变化情况表：        表 7分

x

(－∞，0)

0

(0,2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)

       

极大值



极小值



由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，  （ 8分）

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． （9分）

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，                 (11分)

∴在区间[－2,4]上的最大值为8.                       12分

考点：函数导数求函数性质