Question

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：

Answer

（1）（2）设切线，方程有三个相异的实数根．函数与x轴有三个交点，得

，满足极大值，极小值得

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数；．(1分) 曲线在点处的切线方程为：   ，    （2分）

即 ．           （4分）

（2）如果有一条切线过点，则存在，使．    （5分）

于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程  有三个相异的实数根．（6分）  记   ，则  ．      （（7分）

当变化时，变化情况如下表：

0

0

0

极大值

极小值

（表10分）（画草图11分）由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 （13分）   即   ．    （14分）

考点：函数导数的几何意义及导数求最值