Question

（本题满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x²＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer

(1) b＝－1.(2) (x－2)2＋(y－1)2＝4.

【解析】

试题分析：(1)由得x2－4x－4b＝0，(*)

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. ……5分

(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.

解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．

因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线

y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2， ……10分

所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. ……12分

考点：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系。