Question

（本小题16分）设双曲线：的焦点为F₁,F₂.离心率为2。

（1）求此双曲线渐近线L₁,L₂的方程；

（2）若A,B分别为L₁,L₂上的动点，且2,求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

Answer

（1）由已知双曲线的离心率为2得：解得a2=1,   ……2分

所以双曲线的方程为，                    ……4分

所以渐近线L1,L2的方程为和＝0             ……6分

（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

设A在L1上，B在L2上，设A（x1，，B(x2，－      

所以即    ……10分

设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝，y＝

所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以线段AB中点M的轨迹方程为：，轨迹是椭圆。    ……16分

【解析】

试题分析：（1）由已知双曲线的离心率为2得：解得a2=1,   ……2分

所以双曲线的方程为，                    ……4分

所以渐近线L1,L2的方程为和＝0             ……6分

（2）c2＝a2＋b2＝4，得c＝2 ，所以，

又2所以=10                        ……8分

设A在L1上，B在L2上，设A（x1，，B(x2，－      

所以即    ……10分

设AB的中点M的坐标为（x，y），则x＝，y＝

所以x1＋x2＝2x ， x1－x2＝2y 

所以整理得：                   ……14分

所以线段AB中点M的轨迹方程为：，轨迹是椭圆。    ……16分

考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，轨迹方程的求法。