Question

（本小题满分14分）如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把△折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）先证垂直于所在的平面，进而证明

（2）结合（1）的结论先证A1D⊥平面A1BC，进而再证平面平面

（3）48

【解析】

试题分析：（1）连接A1O，

∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，

∴A1O⊥平面BCD，                                                       ……2分

又BC?平面BCD  ∴BC⊥A1O ，                                          ……3分

又BC⊥CO，A1O∩CO=O，

∴BC⊥平面A1CD.                                                        ……5分

又A1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D.                                             ……6分

（2）∵ABCD为矩形，∴A1D⊥A1B，                                        ……7分

由（1）知A1D⊥BC，A1B∩BC=B ∴A1D⊥平面A1BC，                          ……9分

又A1D?平面A1BD ∴平面A1BC⊥平面A1BD.                                ……10分

（3）由（1）BC⊥平面A1CD 知BC是三棱锥B-A1CD的高 ，BC="6" ,            ……11分

∵A1D⊥平面A1BC，

∴A1D⊥A1C．

∵A1D=6，CD=10，∴A1C=8，                                              ……12分

∴，                        

故所求三棱锥A1-BCD的体积为48．                                      ……14分

考点：本小题主要考查空间中线面垂直和面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.