Question

（本小题满分14分）已知抛物线,焦点为,一直线与抛物线交于两点,且,

（1）求的中点的横坐标

（2）若的垂直平分线恒过定点求抛物线的方程;

（3）求在条件（2）下面积的最大值.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由题意设, AB中点 ，

由得.                      …… 2分

（2）又由，得，             …… 4分

所以 ，

依题意, ，                                   …… 6分

抛物线方程为 .                                                …… 7分

（3）由及, ，                 …… 8分

令得，

又由和得: ，   …… 9分

 ，          ……11分

.            ……14分

或用求导讨论单调性得最大值.

考点：本小题主要考查抛物线标准方程的求解、直线与抛物线的位置关系的判断和应用、点差法的应用、韦达定理和三角形面积公式的应用，考查学生综合利用所学知识分析问题、转化问题、解决问题的能力，考查学生的运算求解能力.