Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer

(1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理，先通过线线垂直来得到证明。(2)

【解析】

试题分析：解法一：

（Ⅰ）因为 ，所以.

又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.     2分

在底面中，因为，，

所以 ， 所以.

又因为， 所以平面.            4分

（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，

证明如下：设的中点是， 连结，，，则，且. 由已知，所以. 又，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.           8分

（Ⅲ）设为中点，连结，

则 .又因为平面平面，

所以 平面.过作于，

连结，则，所以

所以是二面角的平面角.

设，则, .在中，由相似三角形可得：，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为.                 14分

解法二：因为 ，所以.

又因为侧面底面，

且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，，，，. 

（Ⅰ），，,

可得 ，，所以，.

又因为， 所以平面.              4分

（Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.

设平面的一个法向量是，则  

因为，，所以   取，则.

所以， 所以.

因为平面，所以平面.               8分

（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.

由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.

设二面角的大小为，由图可知，为锐角，

所以.即二面角的余弦值为.    14分

考点：线面垂直的证明，二面角的平面角