Question

（本题满分14分）

如图，三角形中，是边长为1的正方形，平面底面，若分别是的中点．

（1）求证：底面；

（2）求证：⊥平面;

（3）求几何体的体积．

Answer

（1）只需证平面HGF//平面ABC；（2）只需证AC⊥BC，BE⊥AC即可。 （3）。

【解析】

试题分析：（1）证：取BE的中点H，连结HF、GH，

∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分

又∵ADEB为正方形    ∴DE//AB，从而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,

∴平面HGF//平面ABC      ∴GF//平面ABC………………5分

(证明GF//AC,相应得分)

（2）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，………………6分

又∵平面ABED⊥平面ABC，交线是AB,∴BE⊥平面ABC    …………7分

∴BE⊥AC      又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC,     

∵BC∩BE="B," ∴AC⊥平面BCE                 ……………10分

（3）取AB的中点N，连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，    …… 11分

又平面ABED⊥平面ABC，交线是AB,CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED…… 12分

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，  …………13分

∵C—ABED是四棱锥,

∴VC—ABED=              …………14分

考点：面面垂直的性质定理；线面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；几何体的体积公式。