Question

（本题满分14分）

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.  

证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

Answer

（1）； （2）

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，， …………1分  而，……………2分

且.  …………3分       解得，……………4分

所以，椭圆的方程为.    ……………5分

（2）由题可得.设，   ……………6分

直线的方程为，    ……………7分

令，则，即； ……………8分

直线的方程为，   ……………9分

令，则，即； ……………10分

证法1：设点在以线段为直径的圆上，则，

即，         …………11分

，而，即，，或.                               ……………13分

故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                                  ……………14分

证法2：以线段为直径的圆为

即          ………11分

令，得，    ……………12分

而，即，，或 

……………13分

故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                          ……………14分

证法3：令，则，令，得，同理得.

∴以为直径的圆为，令解得 

∴圆过                          ……………11分

由前，对任意点,可得,  

∴∴在以为直径的圆上.

同理，可知也在为直径的圆上.                   ……………13分

∴故以线段为直径的圆必过轴上的定点

、.                  …………………14分

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用；直线方程的点斜式。