Question

如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求点到平面的距离.

  

图                                    图

Answer

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用等体积法求解点到面平面的距离

【解析】

试题分析：

【解析】
（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点， 所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．           3分

所以四边形为平行四边形． 所以∥．                4分

又因为平面，且平面，所以∥平面．         5分

（2）证明：在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．  所以．               7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．所以．    8分

所以平面．                                        10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因为平面， 所以平面平面．            11分

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度                12分   

在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于.                          14分

解法二：由（2）知，

所以

                      12分

又，设点到平面的距离为

则， 所以

所以点到平面的距离等于.                          14分

考点：本题考查了空间中的线面关系