Question

已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，动点在轴上方.

（1）若点的坐标为是双曲线的一条渐近线上的点，求以、为焦点且经过点的椭圆的方程；

（2）若∠，求△的外接圆的方程；

（3）若在给定直线上任取一点，从点向(2)中圆引一条切线，切点为. 问是否存在一个定点，恒有？请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）存在

【解析】

试题分析：（1）双曲线的左、右焦点、的坐标分别为和，

∵双曲线的渐进线方程为：，

∴点的坐标为是渐进线上的点，即点的坐标为。

∵∴椭圆的长轴长

∵半焦距，∴椭圆的方程            ..5分

（2）∵，∴，即

又圆心在线段的垂直平分线上，故可设圆心

由。∴△的外接圆的方程为     ..9分

（3）假设存在这样的定点设点P的坐标为

∵恒有，∴

即对恒成立。

从而，消去，得

∵方程的判别式

∴①当时，方程无实数解，∴不存在这样的定点；

②当时，方程有实数解，此时，即直线与圆相离或相切，故此时存在这样的定点；      14分

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆的位置关系