已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于...

已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

(1). (2)满足条件的点有两个. 【解析】试题分析：(1)解法1：设椭圆的方程为, 依题意: 解得: 2分 ∴ 椭圆的方程为. 3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即， 1分 ∵， ∴. 2分 ∴ 椭圆的方程为. 3分 (2)解法1：设点,，则，， ∵三点共线, ∴. 4分 ∴, 化简得：. ① 5分由,即得. 6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ 8分设点，由②③得：，而，则 . 9分代入②得， 10分则，代入 ① 得，即点的轨迹方程为. 11分若，则点在椭圆上，而点又在直线上， 12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. 13分 ∴满足条件的点有两个. 14分解法2：设点,，，由,即得. 4分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. 5分 ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① 6分同理， . ② 7分综合①、②得，点的坐标都满足方程. 8分 ∵经过的直线是唯一的， ∴直线的方程为， 9分 ∵点在直线上， ∴. 10分 ∴点的轨迹方程为. 11分若，则点在椭圆上，又在直线上，12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. 13分 ∴满足条件的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. 7分 ∵， ∴. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 8分由解得 ∴. 10分 ∵, ∴点在椭圆上. 11分 ∴. 化简得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. 14分考点：本题主要考查椭圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，导数的几何意义。

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考点分析：

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如图，四边形与均为菱形，，且.