Question

（本题满分14分）

如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上的顶点，直线AF₂交椭圆于另 一点B.

(1)若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

Answer

（1）e＝.（2）

【解析】

试题分析：【解析】
(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，

即b＝c.所以a＝c，e＝.

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，

其中，c＝，设B(x，y)．

由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，

y＝，即B(，)．

将B点坐标代入，得，

即，

解得a2＝3c2.①

又由·＝(－c，－b)·(，)＝

?b2－c2＝1，

即有a2－2c2＝1.②

由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆方程为.

考点：椭圆的性质和方程