Question

（本题满分20分）设直线l₁：y＝k₁x＋1，l₂：y＝k₂x－1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂＋1＝0.

（Ⅰ）证明：直线l₁与l₂相交；（Ⅱ）试用解析几何的方法证明：直线l₁与l₂的交点到原点距离为定值．（Ⅲ）设原点到l₁与l₂的距离分别为d₁和d₂求d₁+d₂的最大值

Answer

（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋1＝0，得＋2＝1.此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交。（Ⅱ）由（Ⅰ）知由方程组解得交点P的坐标(x，y)为，而x2＋y2＝2＋2＝＝＝1.即l1与l2的交点到原点距离为1

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋1＝0，得＋2＝1.此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知由方程组

解得交点P的坐标(x，y)为

而x2＋y2＝2＋2＝＝＝1.

即l1与l2的交点到原点距离为1

方法二：交点P的坐标(x，y)满足故知x≠0，从而

代入k1k2＋1＝0，得＋1＝0.整理后，得x2＋y2＝1得证。

（Ⅲ）方法一：

方法二：为矩形，

当且仅当时取“=”

考点：本题考查了两直线的位置关系及距离公式的运用