Question

（14分）如图，已知抛物线C₁： y=x², 与圆C₂： x²+(y+1)²="1," 过y轴上一点A（0, a）（a>0）作圆C₂的切线AD，切点为D（x₀, y₀）.

（1）证明：(a+1)(y₀+1)=1

（2）若切线AD交抛物线C₁于E，且E为AD的中点，求点A纵坐标a.

Answer

（1）过D（x0, y0）的切线方程x0x+(y0+1)(y+1)=1  (*)

由（*）过点A（0, a）， 将点A坐标代入（*）得(y0+1)(a+1)=1（2）

【解析】

试题分析：（1）过D（x0, y0）的切线方程x0x+(y0+1)(y+1)=1  (*)

由（*）过点A（0, a）， 将点A坐标代入（*）得(y0+1)(a+1)="1," 即证

（2）由于D（x0, y0）,A(0， a) ∴AD的中点E（）点E在抛物线y=x2上

∴ 

联立消去x0, y0得2a3+a2－2a=0   即a(2a2+a－2)=0(a>0)

解得：a=

考点：直线与圆相切，直线与抛物线相交的位置关系