Question

已知椭圆过点，椭圆左右焦点分别为，上顶点为，为等边三角形.定义椭圆C上的点的“伴随点”为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的最大值；

（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.

Answer

（1）（2）（3）的面积是定值

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由已知，解得 ,方程为.4分

（2）当时，显然，由椭圆对称性，只研究即可，

设（），于是            5分

（当且仅当时取等号） 8分

（3） 设,则;

1)当直线的斜率存在时,设方程为,

由 得: ；

有  ①          10分

由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；

整理得:   ②

将①式代入②式得: ,              12分

又点到直线的距离

===

所以                   14分

2) 当直线的斜率不存在时,设方程为

联立椭圆方程得: ；

代入得；

,    

综上: 的面积是定值 

又的面积也为,所以二者相等.                  16分

考点：椭圆的方程与性质