Question

已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且，点在该椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

Answer

、（1）    （2）

【解析】

试题分析：）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点）求得2a，进而根据a和c求得b，则椭圆的方程可得．设椭圆方程为,，（a＞b＞0），由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1，0），F2（1，0）

那么利用定义可知2a=4,a=2,那么b= ,故可知椭圆方程为

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为当直线l⊥x轴，计算得到： A(-1，- )，B(-1，)，S△AF2B=?|AB|?|F1F2|=×3×2=3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），

由于y=k（x+1）与椭圆联立方程组可知，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），，则x1+x2=- ，x1?x2=，又|AB|= 

即|AB|=又圆F2的半径r=，所以S△AF2B=|AB|r=×= 化简，得17k4+k2-18=0，，即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=±1，所以，r= = ，故圆F2的方程为：（x-1）2+y2=2．

考点：圆的标准方程