Question

已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若在区间上的最大值为，求的值．

Answer

(1)      (2)

【解析】

试题分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=-1时，f（x）=lnx-x，f′（x）=-1=令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；

（2）f′（x）=

①当a>0时，x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，

∴f（x）max=f（e）=2，∴a+1=2,∴a=e符号题意；

②当a<0时，令f′（x）=0得x=-，

1°若0＜-≤e，即-≤a＜0时

∴f（x）max=f（-a）=2

∴-1+ln（-a）=2，

∴a=-e2不符号题意，舍去；

2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，故f（x）max=f（）=2∴a=不符号题意，舍去；故a=

考点：导数的方法研究函数的单调性