Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点.

（I）求证：AF//平面PCE；

（II）求证：平面平面PCD；

（III）求四面体PEFC的体积.

Answer

(1)设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FG平行且等于一半的CD，AE平行且等于一半的CD，进而可得到AF∥GE，再由线面平行的判定定理可证明AF∥平面PCE，得证．

(2)根据PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由线面垂直的性质定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同样得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证．

(3)

【解析】

试题分析：

【解析】
（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，

∴FG//=CD，AE//CD∴FG//AE，∴AF∥GE∵GE?平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD， EG=AF=，GF=CD= S△PCF= PD?GF=2．得四面体PEFC的体积V= S△PCF?EG= ．

考点：线面垂直