Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求的单调区间；

（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer

（1）

（2）的单调递减区间为，；   单调递增区间为.

（3）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）因为，

所以，       1分

所以曲线在点处的切线斜率为.    

又因为，

所以所求切线方程为，即．   2分

（2），

①若，当或时，；

当时，.

所以的单调递减区间为，；

单调递增区间为.                           4分

②若，，所以的单调递减区间为.

③若，当或时，；

当时，.

所以的单调递减区间为，；

单调递增区间为.                         7分

（3）由（2）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值.

由，得.

当或时，；当时，.  10分

所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.

故在处取得极大值，在处取得极小值.

因为函数与函数的图象有3个不同的交点，

所以，即. 所以. 12分

考点：导数的运用