Question

设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表如表所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表如表所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；

(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，

能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之

和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ)      (Ⅲ)结论成立

【解析】

试题分析：（I）

法1：

法2：

法3：

（写出一种即可）                                                 

(II)  每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;

①如果操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，

,解得.                     

②如果操作第一行

则每一列之和分别为，，，

解得，综上                        

(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）

由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得

数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只

是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中

个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立

考点：规律型  数字的变化类．