Question

在长方体中，，，为中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）先证平面（Ⅱ）（Ⅲ）的长.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接∵是长方体，∴平面，又平面 ∴    

在长方形中， ∴     

又∴平面，    

而平面∴      

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则

,  

设平面的法向量为，则    令，则  ,

所以 与平面所成角的正弦值为                

（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使得∥平面.

设的坐标为，则 因为 ∥平面

所以 ，即， ，解得，        

所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长. 

考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．