Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：平面ABD；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先证 （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，

故．          

∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

∴平面．        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．            

则，，，．

∵E是线段AD的中点，

∴，．

在平面中，，，

设平面法向量为，

∴，即，

令，得，故．            

设直线与平面所成角为，则

．           

∴直线与平面所成角的正弦值为．              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，

而平面的法向量为，

∴，

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．