Question

已知函数

(I)当时，讨论函数的单调性：

(Ⅱ)若函数的图像上存在不同两点，，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”.

试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由.

Answer

(I) 当时,函数的递增区间是,递减区间是

当时，函数的递增区间是和，递减区间是

(Ⅱ) 函数不是“中值平衡函数”

【解析】

试题分析：（1）

当即时，，函数在定义域上是增函数；

当即时,由得到或，

所以：当时，函数的递增区间是和，递减区间是；

当即时，由得到：，

所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是；       

（2）若函数是“中值平衡函数”，则存在（）使得

即，

即，（*）

当时，（*）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条；

当时，设，则方程在区间上有解，

记函数，则，

所以当时，，即方程在区间上无解，

即函数不是“中值平衡函数”.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．