Question

如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若，求的值.

Answer

（Ⅰ）先证DE⊥OD  （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）连结OD，可得       

∴OD∥AE  又AE⊥DE     ∴DE⊥OD，又OD为半径，∴DE是的切线   

（2）过D作DH⊥AB于H，则有

Cos∠DOH=∠CAB=        

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x ∴AH=8x   AD2=80x2

由△AED∽△ADB可得 AD2=AE·AB=AE·10x  ∴AE=8X       

又由△AEF∽△DOF    可得AF∶DF= AE∶OD =；∴= 

考点：切线的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．