Question

偶函数满足，当时, ，则关于的方程在上解的个数是（ ）

A．1                B．2                C．3                D．4

Answer

D  

【解析】

试题分析：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），

∴原函数的周期T=2，又∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），

又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，

∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）。

设y1=f(x) ，y2=，方程根的个数，即为函数y1=f(x) ，y2= y2=的图象交点的个数．

由以上条件，可画出y1=f(x) ，y2=的图象，

当x=时，y1＞y2，当x=1时，y1＜y2，

故在（，1）上有一个交点．

结合图象可得在[0，3]上y1=f（x），y2=共有4个交点，

∴在[0，3]上，原方程有4个根，故选D．

考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性、单调性，函数的图象，函数零点的概念，一次函数、指数函数的图象和性质。