Question

已知椭圆的两个焦点，，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于两点，如果的周长等于8。

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标及定值;若不存在，说明理由。

Answer

（1) ；（2）   定值

【解析】

试题分析：（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为。

（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）

由消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则由韦达定理得x1+x2=，x1x2=

则=(m-x1，-y1)，=(m-x2，-y2)

∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2

=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）

==

要使上式为定值须=4，解得m=，∴为定值

当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，-)由E(，0)可得

=(，-)，

=(，)∴=

综上所述当时，为定值。

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。