Question

设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且，

(1)求,的通项公式；

(2)记的前项和为，求证：；

(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和，求证：．

Answer

（1） （2）证法一：放缩法；

（2）证法二： 应用

（3）证法一：错位相减法；证法二：用数学归纳法证明。

【解析】

试题分析：（1）设的公比为的公差为，则     2分

解得所以        5分

（2）证法一：由题意得                 6分

                8分

所以         9分

（2）证法二：由题意得              6分

，当时

且也成立，               8分

所以              9分

（3）证法一：由题意

  11分

令

以上两式相减得 13分

又，所以             14分

证法二：用数学归纳法证明。

（1）当时，所以结论成立。       10分

（2）假设当时结论成立，即。       11分

当时，

，所以当时也成立               13分

综合（1）、（2）知对任意都成立           14分

考点：本题主要考查等比数列的通项公式，“错位相减法”，数学归纳法。