Question

在平面直角坐标系内，动圆过定点,且与定直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上，且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

Answer

（1）.（2）

【解析】

试题分析：⑴由题可知，圆心到定点的距离与到定直线的距离相等     

由抛物线定义知,的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线 

所以动圆圆心的轨迹的方程为.                             

⑵解法1、

设，则中点为，因为两点关于直线对称，所以，即，解之得8分

将其代入抛物线方程，得：，所以.                  

联立，消去，得：             

由，得，                     

注意到，即，所以，即，                 

因此，椭圆长轴长的最小值为.此时椭圆的方程为.         

解法2、

设 ，因为两点关于直线对称，则，        

即，解之得                                

即,根据对称性,不妨设点在第四象限，且直线与抛物线交于.则,于是直线方程为          

联立，消去，得：             

由，得，                    

注意到，即，所以，即，                 

因此，椭圆长轴长的最小值为. 此时椭圆的方程为.

考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；椭圆的标准方程．