Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；

（2）求BF与平面ABC所成角的正弦值；

（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

Answer

（1）对于线面垂直的证明主要是根据线线垂直来得到线面垂直。

（2）（3）

【解析】

（1）  试题分析：证明：在图甲中∵且 

（2）  ∴ ,

即   2分

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C                  D．   4分

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC．    5分

（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角   7分

在图甲中，∵, ∴,

设则,,-9分

∴在Rt△FEB中，

即BF与平面ABC所成角的正弦值为．  10分

解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，

设，则，  6分

可得,,

，，

∴,   8分

设BF与平面ABC所成的角为

由（1）知DC平面ABC

∴

∴   10分

（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角   12分

在△AEB中，

∴

即所求二面角B－EF－A的余弦为．  14分

考点：垂直的证明，角的求解