Question

如图，三棱锥中，底面于，，，点是的中点.

（1）求证：侧面平面；

（2）若异面直线与所成的角为，且，

求二面角的大小.

Answer

(1)对于线面垂直的证明，主要是利用判定定理，然后结合这个条件来得到面面垂直的证明。

(2)

【解析】

试题分析：【解析】
（1）∵底面，平面，

∴ 平面平面， 又∵，

平面平面， ∴ 平面   3分

而 平面 ∴侧面平面.   5分

（2）取的中点，则是的中位线

故，所以就是异面直线与所成的角，   7分

设，则在中，，

在中，，∴ ，

而，∴ ,即.   9分

过作于点，连. ∵ ，底面

∴ 底面，从而，又∵，

∴平面，从而，

所以就是二面角的平面角.    11分

由，得 ， 由∽，

可得，即  解得，

在中，，所以，

故二面角的大小为.     14分

解法2：如图，以为原点，以分别为轴建立直角坐标系.

设，则，，，

，从而.

∴，，   7分

∵异面直线与所成的角为，且，

∴，

又，

从而，解得...    9分

∴，，，

设平面的法向量为，则由 

得 ，   令，得.   11分

又平面的法向量为，    12分

∴，∴ ，

所以二面角的大小为.   14分

考点：面面垂直，二面角