Question

已知斜三棱柱—，侧面与底面垂直，∠，，且⊥，＝.

（1）试判断与平面是否垂直，并说明理由；

（2）求侧面与底面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）AA1与平面A1BC不垂直

（2）

【解析】

试题分析：解法一：如图建立空间直角坐标系，

（1）由条件知                              1分

由面⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知     2分

∵   ……………3分

∴与不垂直，即AA1与BC不垂直，

∴AA1与平面A1BC不垂直……5分

（2）由ACC1A1为平行四边形，

知==…7分

设平面BB1C1C的法向量，

由

令，则            9分

另外，平面ABC的法向量（0，0，1）       10分

所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为       12分

解法二：（1）取AC中点D，连结A1D，则A1D⊥AC．

又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直，交线为AC，

∵A1D⊥面ABC

∴A1D⊥BC． 2分

假设AA1与平面A1BC垂直，则AA1⊥BC．

又A1D⊥BC，由线面垂直的判定定理，

BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中

有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不

成立，所以AA1不与平面A1BC垂直    5分

（2）侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角．

过点C作A1C1的垂线CE于E，则CE⊥面A1B1C1，B1C1⊥CE．

过点E作B1C1的垂线EF于F，连结CF．

因为B1C1⊥EF，B1C1⊥CE，所以B1C1⊥面EFC，B1C1⊥CF

所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角           9分

由得

在Rt△EFC中，cos∠

所以，侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为     12分

考点：线面垂直的判定，二面角的平面角