Question

 如图，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立.

Answer

（1）椭圆C的离心率为. （2）t=b∈（0，b）使得所述命题成

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，

+=1，解得y=，从而得到A.              1分

直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分

由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=，   3分

将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.

∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分

解法二：点A的坐标为.                               1分

过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，

故=.                                           2分

由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，

所以=.                                   3分

解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    

∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分

（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分

当t∈（0，b）时，圆x+y=t上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q、Q，因此点Q（x，y），Q（x，y）的坐标是方程组

的解.                                        6分

（1）当y0时，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，

即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0.                        7分

于是x+x=，xx=，

yy=·=

==.

若QQ⊥QQ，则xx+ yy=+==0.

所以，3t－2b（x+y）=0.                               8分

在区间（0，b）内，此方程的解为t=b.              9分

（2）当y=0时，必有x0，

同理求得在区间（0，b）内的解为t=b.              10分

另一方面，当t=b时，可推出xx+ yy=0，从而QQ⊥QQ.        11分

综上所述，t=b∈（0，b）使得所述命题成立.                12分

考点：椭圆的方程与性质