Question

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②．

（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比；

（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记阶“期待数列”的前项和为：

（ⅰ）求证：；

（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

Answer

（1）．（2）．（3）（ⅰ）利用前n项和进行放缩证明．（ⅱ）数列和数列不能为阶“期待数列”．

【解析】

试题分析：（1）若，则由①=0，得，

由②得或．

若，由①得，，得，不可能．

综上所述，．

（2）设等差数列的公差为，>0．

∵，∴，

∴，

∵>0，由得，，

由题中的①、②得，

，

两式相减得，， ∴，

又，得，

∴．

（3）记，，…，中非负项和为，负项和为，

则，，得，，

（ⅰ），即．

（ⅱ）若存在使，由前面的证明过程知：

，，…，，，，…，，

且…．

记数列的前项和为，

则由（ⅰ）知，，

∴=，而，

∴，从而，，

又…，

则，

∴，

与不能同时成立，

所以，对于有穷数列，若存在使，则数列和数列不能为阶“期待数列”．

考点：本题考查了数列的通项公式及前n项和