Question

（1）设，试比较与的大小；

（2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ），利用放缩法证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故函数有最小值，则恒成立      4 分

（Ⅱ）取进行验算：

猜测：①，

②存在，使得恒成立。        6分

证明一：对，且，

有

又因，

故                  8分

从而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

证明二：

由（1）知：当时，，

设，，

则，所以，，，

当时，再由二项式定理得：

即对任意大于的自然数恒成立，          8分

从而有成立，即

所以存在，使得恒成立              10分

考点：本题考查了导数的运用及不等式的证明