已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程...

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）（2）点就是所求的点【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆的两焦点与短轴的一个端点连线构成等腰直角三角形，所以，故椭圆的方程为．又因为椭圆经过点，代入可得，2分所以，故所求椭圆方程为．4分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为；当直线的斜率不存在时，直线为，直线交椭圆于、两点，以为直径的圆的方程为，由解得即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是．8分事实上，点就是所求的点．证明如下：当的斜率不存在时，以为直径的圆过点．9分若的斜率存在时，可设直线为，由消去得．记点、，则 10分又因为，所以．所以，即以为直径的圆恒过点，12分所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．13分考点：直线与椭圆的位置关系

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考点分析：

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有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙．已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．

据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10

假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．

(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；

(Ⅱ)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为万元、万元(其它费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(Ⅰ)所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润=(销售商支付给生产商的费用)一(一次性费用)) ．