Question

已知圆，椭圆．

（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；

（Ⅱ）现有如下真命题：

“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；

“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．

据此,写出一般结论，并加以证明．

Answer

（1）

（2）一般结论为: “过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”

【解析】

试题分析：解法一：

（Ⅰ）设点，则， （1）   1分

设线段的垂直平分线与相交于点，则，    2分

椭圆的右焦点，       3分

,， ，

， （2）             4分

由（1），（2），解得 ，点的横坐标为．      5分

（Ⅱ）一般结论为：

“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”  6分

证明如下：

（ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率

不存在时，此时切线方程为，

点在圆上 ，，

直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线

两切线互相垂直．         7分

（ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时，

可设切线方程为，

由得 ，

整理得，     8分

直线与椭圆相切，

，

整理得，       9分

，          10分

点在圆上，， ，，两切线互相垂直，

综上所述，命题成立．         13分

解法二：

（Ⅰ）设点，则， （1）       1分

椭圆的右焦点，        2分

点在线段的垂直平分线上， ，

 ， ， （2）     4分

由（1），（2），解得， 点的横坐标为．     5分

考点：直线与椭圆的位置关系