Question

已知函数，（）

（1）若函数存在极值点，求实数b的取值范围；

（2）求函数的单调区间；

（3）当且时，令，()，()为曲线y=上的两动点，O为坐标原点，能否使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。

Answer

（1）

（2）当时，，函数的单调递增区间为；

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。

（3）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ），若存在极值点，则有两个不相等实数根。所以，              2分

解得               3分

(Ⅱ)               4分

当时，，函数的单调递增区间为；       5分

当时，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。

7分

（Ⅲ） 当且时，假设使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则且。     8分

不妨设。故，则。，该方程有解          9分

当时，则，代入方程得即，而此方程无实数解；              10分

当时，则；         11分

当时，则，代入方程得即，               12分

设，则在上恒成立。在上单调递增，从而，则值域为。

当时，方程有解，即方程有解。     13分

综上所述，对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。           14分

考点：导数的运用