Question

已知正项数列的前项和为，且 .

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）是否存在非零整数，使不等式

对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

(1) ,

(2)根据题意，由于，∴.放缩法来得到证明。

(3)，由是非零整数，知存在满足条件．

【解析】

试题分析：(1）由.

当时，，解得或（舍去）．  2分

当时，

由，

∵，∴，则，

∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．  4分

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

（2）证法一：∵

， 4分

∴当时，

.… 7分

当时，不等式左边显然成立.         8分

证法二：∵，∴.

∴. 4分

∴当时，

. 7分

当时，不等式左边显然成立.  ……8分

（3）由，得，

设，则不等式等价于.

，……9分

∵，∴，数列单调递增.          

假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则

① 当为奇数时，得； ……11分

② 当为偶数时，得，即.  12分

综上，，由是非零整数，知存在满足条件．  12分

考点：数列与不等式